为2030年培养人才 奥数三十年：用1980年的人才观-怎样学数学
这几周，本来是华杯赛、希望杯等比赛举行的日子。不料教育部门一纸公文，各个比赛纷纷暂停或推迟童养媳乌荷。在这个平静的空档期，正好可以和大家分享一些长一点、不那么急躁的东西。
近一年来，这些笼统的被称为奥数的数学赛事始终处在舆论的风口，各种批评不绝于耳，主管部门的出手也越来越重。从上海的叫停、成都的整顿、江苏的“全面禁奥”，直到这一次斯马什帕克，国家层面出了重手，彻底按下了暂停键。

在这场喧嚣里，究竟谁犯了错？
赛事的组织方错了么？难道不应该给那些有天分、有才华的孩子提供发挥的舞台么？不应该让更多的人参与数学学习，感受数学的魅力么？
培训机构有错么？数学竞赛又不是他们主办的，题目也不是他们出的，他们教人知识，帮助考生提高成绩，难道不对么？
莫非家长们错了？他们在物质和精神上作了巨大的牺牲，不就是想让孩子考个好成绩，上个好学校，奔个好前程么？
教育部门又有错么？难道不应该让大量的孩子从题海中解脱出来，有一个全面发展的空间么？
是生态出了问题。
在这个生态里，没有人是赢家。
教育部门徘徊在姑息和越位的指责声里；主办方和培训机构被骂成了赚黑心钱的精神毒药贩卖者；家长在内心的焦虑和钱包的缩水中挣扎，而孩子是上不完的培训班，做不完的题目。即使那么得了奖、得以进入某名校的孩子，就是这场赌局的胜利者么？以他们惊人的天赋和刻苦的投入，他们不应该把目标放高一点，去做那些更能帮助他们成为下一个史蒂夫?乔布斯或者埃隆?马斯克的事情么？
看到今天奥数面对的巨大争议，我们很难想象它在兴起之初，却充满了寄托和情怀。
奥数三十年 从情怀到毒药
在一场运动中虚耗了整整十年后，中国数学界在运动刚刚停歇之际，就迫不及待的组织起面向中学生的数学竞赛来，希望在竞赛中找到一些好的苗子。这样的选拔方式在国家的肯定下，逐步扩大开来，形成了固定的模式。

（1978年数学竞赛资料及华罗庚的题词）
1986年开始举办的华罗庚杯，以这位充满传奇色彩的数学家、同时又是数学竞赛的大力倡导者命名。华杯赛的赛名，由领导人亲笔题写，时任国家科委主任方毅任首届杯赛的组委会主任。出题的5位数学家，有清华北大的教授，也有后来的院士、博导。这个国家以这样的方式，来表达对知识的尊重和对人才的渴求。
随后的十几年里，尽管奥数也有普及和发展，但始终局限在小范围学生参加的智力竞赛。家长们甚至担心，在奥数上花太多时间，会影响主科上的成绩。奥数真正进入膨胀期，是在90年代末小升初统一考试取消之后。
小升初考试取消后，奥数由于良好的办赛基础和普及程度，以及恰到好处的拉分效果，迅速填补上了空档，成为小升初考试的第一替代品。奥数比赛的内在逻辑由学有余力变成了小升初的敲门砖，参与奥数比赛的效费比彻底改变，由此走向了全民奥数。
人们很快发现，如果花少量的时间，系统学习奥数题目的解题技巧，就可以在考试中占据很大优势。于是，对奥数培训班的需求迅速释放，而蓬勃兴起的培训班又再次推动了奥数的普及。
参与的人数越来越多，奥数培训越来越普及，参与者的水平也越来越高，但奖项只有那么多，只好进一步分层。于是，奥数的题目不得不出得越来越难，越来越偏，考生需要记住越来越复杂的技巧，仅仅在小升初前一两年接受培训已然没什么优势。结果，孩子们不得不上更多的培训班，做更多的题，开始学习奥数的年龄也一再下探，开启了一个“题目变难——上更多的培训班——水平提高——题目更难”的循环。
在这场奥数运动中，获利颇多的培训机构，开始由最初的参与者、协作者，逐渐变成了赛事的组织者、主办者，获得了越来越大的话语权，也多次引发了对竞赛公平的质疑。
这样的内在逻辑不改变，即使受到多次整顿打压，奥数竞赛反而不断壮大，甚至形成了稳定的心理预期，所谓整顿不过是一阵风而已，等过了风头，换个头面，该干嘛干嘛。如此越挫越勇玛丽莲玉凤，在过去十几年，恐怕也只有房地产业可以一比。
房市里，上车了的都成为了赢家。但在奥数竞赛里，大多数人终究是陪跑者。即使如此，在升学的压力面前，奥数仍是非上不可。别人不上我上了，占便宜；别人上了我也上，不吃亏，全民奥数最终成为了无人可以摆脱的囚徒困境。

（2009年，北理工教授杨东平在他的博客上，喊出了“打倒万恶的奥数教育”，引发了围绕奥数的又一次论战）
如果仅仅因为一项竞赛难度高、参与人数多、投入巨大、功利性强而指责它，显然是难以服众的。奥数最要命的问题，不在于这些外在的喧嚣，而是它本身内在的问题：学奥数到底对培养人才有什么好处？有没有好处？
在说奥数之前，我们先来说说，数学应该是怎样的。
两种数学
数学的教科书上写的解答，总是很有条理，把最优的方法告诉我们，又没有什么废话。但我们自己做题的时候，却很难这样从容。往往要这里试试，那里试试，在有一点进展之前，总要试过几个愚蠢的想法，有时憋了好几天，仍然束手无策。即使勉强把题目做出来了，也要反复誊写几次，才能写得比较简略和精确，更不用说是不是最佳的方法了。
波利亚把这种差别，形象的叫做“两种数学”。一种是教科书上的数学解法，它是演绎的、简洁的、完整的、系统的和最优的。另外一种是我们寻找数学解法的过程，它是探索的、繁冗的、断续的、碰运气的，但又是充满生气和创造力的。
这“两种数学”也发生在数学的课堂上。
日本数学教育家米山国藏在其《数学的精神、思想和方法》一书中，以三角形内角和为例，详细的讲了他理想中的数学课堂。
米山说，在教学三角形的内角和时，一般的几何书会先给出“三角形的内角和等于180度”这个命题，再给出证明。学生纵然学到了这一几何知识，甚至还记住了证明的步骤，但他们完全不知道这个命题是怎样来的，也不知道研究的过程和方法，更不用说培养了什么用于研究和发现的内在素质了。
米山认为，这堂课应该这么教：
首先是实验，让学生们动手测量三角形的内角并求和。为了让学生明白实验的目的，测量的工作和方法要尽可能精确，测量的结果才能尽量准确。
实验的结果，可能大部分学生测得了180度，也会有一部分学生测得181度、179度或者其他结果。这时，老师应引导学生猜测，三角形的内角和等于180度，但同时让他们注意，他们只是在很少的一部分三角形中测到了180度，不能由此判定，任意三角形的内角和都是180度。
实验是用来提出问题的。不做实验至尊血帝，三角形内角和等于180度这个推测就无从而来。有了推测，还要完成相应的证明过程。
证明的构想也可以从实验中来。把一个三角形的三个角减下来拼在一起，正好可以拼成180度。由此可以联想到添加平行线作为辅助线的方法，可以把任意三角形的三个角“拼”在一起，来证明这一命题。
实验和证明是数学方法的两翼，相辅相成仙逆后记。
但学习不应到此为止。老师可以接着提问：凸四边形的内角和等于多少度？他可以让学生用实验的方法，也可以用证明的方法来解答。如果学生们没能自己发现的话，还应该提示他们，可以把凸四边形的问题和三角形联系起来，把凸四边形分割成三角形，引用上述三角形内角和的定理来解题。
接着，再来求凸五边形、凸六边形的内角和，此时学生应会想到，直接应用三角形的内角和来计算凸五边形的内角和。
一旦老师启动了探索的第一步，就可以让学生们来主导发现的过程，老师只需要适当的推他们一把。让他们算一算凸10边形、凸100边形、凸1000边形的内角和，直至一个一般性的问题：一个凸n变形的内角和。把三、四、五、六边形的内角和写出来，就容易看出这是一个以180度为公差的等差数列，再用推理的方法证明就可以了。

（我国现行的教材一般会在小学阶段通过实验得到三角形内角和的结论，在中学阶段完成证明部分。和米山国藏的设想相比，数学方法上的讨论似乎不够充分。）
绝大多数的学生，都不会在他们毕业之后再用到三角形内角和这一定理。如果只把单纯的用不上的知识交给学生，学生学到的只是数学的僵尸，以至于让他们认为数学完全没有意义，学数学只是为了分数。这是我们说的第一种数学。
只有教会学生发现和研究，数学才是有生气的东西。即使数学课上学的知识完全用不上，但他们学到了发明、发现和创造的种种方法，培养了应用能力、逻辑推理能力和想办法的能力，这样的方法深刻的留在他们的脑子里，在今后遇到现实的问题时，能够随机应变。并且，学生始终理解课程的意义，对课程充满兴趣，更可能在长期乃至终身的学习中取得成功。这是我们说的第二种数学。
但这样讲课，同样的内容进度要用去多得多的时间。一堂课能灌输完的内容，需要四、五堂课才能讲完。况且，几十人的大班上很难进行充分绵密的思考和讨论，只有将学生分成至多七、八个人一组的小组，才能得到比较好的效果。所以，即使不考虑那些真正理解数学、能够创造性组织课堂的老师比那些只会照本宣科的老师要稀缺的多，仅就数量而言，需要投入的教育资源就有十几倍乃至几十倍之差。
所以，米山无奈的承认，能够按照他的设计来教课的教育工作者，实在是太少太少了。
少即是多
如美国数学家David Klein所说，数学教育中最大的矛盾，是内容和方法的矛盾。
这一说法咋一看不可思议飓风音速，内容是教什么的问题，方法是怎样教的问题，这两者就像人的两足，缺一不可，又怎么会矛盾呢？
问题恰恰出在，到底应该是以内容优先还是方法优先。如果以内容优先，就必然要用灌输的方法，学生可以记住足够多的知识，并且在考试中有好的表现。但如果想要鼓励和调动学生的参与，以他们能力的成长和长期的潜力作为优先的目标，这样的课堂就要比灌输的课堂多花费几倍的时间，就必须减少学习内容，以牺牲内容的量为代价。
也就是说，少即是多。内容讲的少了，但是学生参与多了，思考多了，兴趣多了，课堂的强度不但不少，反而更大。
只有离开应试，数学才会是生动的，漂亮的永和宫主，充满创造力的。否则，就一定会陷入灌输、强记和题海战术的泥潭。
如果高考制度难以改变，以高考为目标的应试教学无法避免，那么能不能在义务教育阶段，减少一些应试的成分，多关注一些能力的培养呢？所以，在多次的课改之后，数学课本上的知识点少了、浅了，怎样发现和解决问题的东西多了。即使在实施中，这些改变还没有达到预期的效果，也出现了一些教条和形式主义的东西，但是总的来说，课改的努力是可以看见的。
但学校教育无法解决大班上课的问题，或者说，以公共的教育资源，只能做到这种程度了。那么，在学校之外，在家长和学生可以自己选择的地方，是不是可以让孩子们吃些细粮，周盛俊杰消化消化呢。
可惜，奥数的泛滥毁掉了课改的努力。
犀鸟的盔 极乐鸟的羽
在学校课堂上，哪怕教师最终关注的是分数，他们也得按照教材的要求，把起码的过程和方法给学生讲一讲。但为竞赛成绩而生的奥数课堂却没有这些束缚，它就像脱缰的野马，迅速异化成了应试的机器：就是用多快好省的手段，通过大量的记忆和模仿，迅速积累特定问题的解题技巧。
举一个例子。
求格点面积是三年级的学生经常遇到的一类问题。在格点中海门岛，学生可以直观的看出三角形的面积是怎样和长方形联系起来的。这样的问题是几何学习中的重要一环，可以帮助学生由已经学会的长方形面积公式过渡到三角形。

（人教版教材上的求格点/网格面积问题）
如果把基础的格点面积问题稍作变化，可以变成下面这样求格点面积的问题。解这样的问题，要把图形作适当的分割，分成若干个已学会的基本图形，分别求出各部分的面积后再求和。这样的题目，可以锻炼学生的平面观察和想象力，还包含了一种朴素但是关键的数学思想：如果把一个未知的问题转化成一个已知的问题，硝苯地平缓释片的副作用这个问题就解决了。

这样的题目，出现在课外的练习册上，让学生们做一做，不是很有好处么？
但是在奥数班上，正确率和解题速度才是唯一的目标，学生们就会被告知应该按照以下方法来解题：
根据皮克公式，格点的面积等于图形内的格点数加上图形边上格点数的一半再减1，本题中，图形内的格点有12个，图形边上的格点有6个，所以，围成的面积等于12+6÷2-1=14个单位面积。
这种解法里，学生们根本不知道皮克公式是怎么来，也不理解它为什么正确。但是这样解题，又快正确率又高。
好笑的是，当学生升入五六年级，格点图形变成圆形、扇形的组合图形后，他们就不能再使用皮克公式了，又回到图形分割拼补的老路上。
这样拿来就用、用完就扔的所谓“方法”，在奥数中比比皆是。
如果这个例子讲的是奥数里野蛮暴躁的“多讲”，那么下一个例子就是不能自圆其说的“少讲”。

解这个问题，需要证明下图所示的两个阴影三角形全等。对于学过公理化证明方法的中学生来说，这并非难事。但小学生应该怎样证明呢？

只需简单一句话：这两个三角形旋转后重合。
如果两个三角形看起来是一样的，就认为它们是一样的，这样的做法，不是和数学最基本的精神背道而驰吗？
要解决这个问题，需要引入一些中学的平面几何内容。对于那些基础和能力都很好的学生，提前教给他们一些真正有用的东西，也未尝不可。奥数为什么又反常的自我限缩，宁可在一些过于初等甚至说不通的方法里打转呢？
“多讲”和“少讲”的这两个例子，反应了奥数真正的问题。它是按照上世纪80年级的人才观、知识观设计的智力游戏，它无视时代的变化，也缺少对自身真正价值的内省。学的东西是不是学生需要的，不知道红警三。学生在其中可以获得哪些能力成长，不清楚。甚至连所学的是有害还是有益，都可以假装看不见。只要能够打造并维系一个名利场，自然有人买单。
有些种类的犀鸟在头部长有巨大的盔状突起，就像头盔一样。这些笨重的盔突没有任何实际的作用，反而影响了犀鸟的飞行，其明亮的颜色也更容易引起捕食者的注意。类似的例子还有极乐鸟漂亮但无用的尾羽，一些鹿细致的、明显超过了打斗需要的角。

（长着夸张盔突的冠斑犀鸟）
这样的现象曾让达尔文大为不解，它们看起来和自然选择格格不入，为什么自然选择会保留这些对生存竞争完全无用乃至有害的构造呢？
达尔文最终认识到，这些构造并不是对他的学说的挑战，反而可以用自然选择完美的解释。只有那些强健的个体，才能带着巨大的盔突，在残酷的生存竞争中存活下来。盔突越大、越明亮，越能证明个体的强健勿忘我安妮，也越容易获得异性的青睐和选择，使得这种基因在后代中保留和积累下来。
奥数金牌，就是我们这个丛林的盔突和尾羽。
中国版的“新数运动”
上世纪50年代末，美国教育界兴起了一场“新数运动”（New Math），他们对K12阶段的数学课做了彻底的改革，以提高中学毕业生普遍低下的数学水平。

“新数运动”最终彻底的失败了。发起者们过于想教育学生“数学是什么”，而多少忽略了“数学该怎样学”。新的教材和课程难度太大，甚至有些一线的教师也不能完全理解。“新数学”也成了激烈但不切实际的改革的代表。
在不同的时空背景下，我们需要一场意义完全不同的“新数运动”：我们需要新的数学，也需要一场运动来实现它。
新的数学是更现代化的数学和数学课。它具体是什么样的，我们在上面已经举了一些例子。今天的K12教育是培养2030年的人才，他们不需要累积解数学题的技巧，而需要用所学解决问题的能力。
之所以说是一场运动，是因为“新数学”远不止在课堂之内，更要更新社会公众对数学的认识。数学课是什么样的，并不是由其供给者——数学家和教育工作者——决定的，而是基于供给者和需求者——家长和学生——的共识。否则，家长们就会用脚投票。
家长们固然关心长期的能力成长，但他们也重视短期的成绩和排名。在分数之外，需要有较为公平和有效的评估数学能力的方法，把真正的数学能力和针对测评的包装和投机取巧区分开来。否则，奥数的阴影仍会重来。
“新的数学”需要资源投入，需要大量精细的基础工作，需要时间的淬火和检验，更需要每一个关心孩子成长的家长和教育工作者的参与。我们欢迎你把这样的观点传播给更多的人，也欢迎把你的意见大声的告诉我们。
除了坐而谈，更要起而行。我们会在我们的实验课上，实践“新的数学”的设想，检验和完善它。目前即将增开的是三年级的思维课和四年级的内容课。如果你有兴趣，请联系我们。